「標本」と「標準」って、言葉が似ていてややこしいですよね。どっちがどっち？になりがちですが、意味は全く違うのでしっかりと区別できるようにイメージ化しています。日本語は似すぎなので、英語にしてみましょう。
- 標本 = sample（実データのサンプル）
- 標準 = standard（基準・ものさし）
1. 標本誤差（Sampling Error）
「ある（1回の）サンプルを取ったときに、本当の値とどれくらいズレるか」
求め方： 標本誤差 = サンプル平均 x̄ −母平均 μ
$$\text{標本誤差} = \bar{x} – \mu$$
サンプル平均 と 母平均の「差」をとることで、本当の平均（母平均）と、どのくらいズレているかを測ったものです。
※実際には μ（母平均）はわからないことが多いので、標本誤差は「概念」として使われるそうです。
具体例：
クラス全員の平均点が 80 点（母平均）で、10人だけ選んで平均点を計算したら 76 点だった場合： 標本誤差 = 76 − 80 = −4
→ サンプル平均は母平均より 4 点低かった、というズレです。
👉 標本誤差は「一度のズレ」を表します。
2. 標準誤差（Standard Error, SE）
「サンプルを何度も取り直したときに、平均値がどのくらいブレるか」
背景：サンプルを何度も取り直すと、平均値は毎回少しずつ違います。
この「ばらつきの大きさ」を測るのが標準誤差です。
ブレにはプラス方向とマイナス方向があるので、まず2乗して（マイナスを消す）、
そのあと √（平方根）で元に戻す、という統計の基本技が使われています。
求め方：
- 母分散 σ² が既知なら：標準誤差 = σ / √n
$$\text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
→単純にサンプル数でわっているってこと。
ただし普通は母分散がわからないことが多いらしい。 - 母分散が未知なら、標本標準偏差 s を使って：標準誤差 ≒ s / √n
$$\text{SE} \approx \frac{s}{\sqrt{n}}$$
→標本標準偏差というは、サンプルから計算した標準偏差のこと
標準誤差は「サンプル平均のブレ」を測るものですが、そのブレは元のデータのばらつき（母分散）に左右されます。（全体の分散（ブレ）なのでサンプルとっても似たような感じになるってことですね）
- 元のデータがバラバラなら、サンプル平均もブレやすい
- 元のデータがまとまっていれば、サンプル平均も安定しやすい
つまり、平均のブレを測るには、まず元のばらつき（母分散）を知る必要があるんです。
しかし母分散がわからないことが多いので、サンプル分散（s²）を使って近似する（母分散の推定値に使う）ってことです。
- 理想：母分散 σ² がわかっている → σ / √n
- 現実：母分散は不明 → 標本標準偏差 s を使って：標準誤差 ≒ s / √n
なぜ「√n」で割るのか？
これは「サンプル数が多いほど平均は安定する」ことを数式で表すためです。
- サンプル数 n が増えると、平均値のブレは小さくなる→母数に近づくので当然ですね。
- ばらつきの広がり（σ）はマイナスとプラスのブレの合計を計算するために2乗しているので
サンプル数 nの平方根で割ることで、ちょうどよく調整しているのです。
具体例：
標本標準偏差 s = 12、サンプル数 n = 36 のとき：
$$\text{SE} \approx \frac{12}{\sqrt{36}} = \frac{12}{6} = 2$$
→ この場合、サンプル平均のブレの大きさは「2」くらいと見積もられます。
サンプル分散は関係ないのか？
関係あります。母分散がわからないときは、サンプル分散（s²）を使って近似します。
- 理想：母分散 σ² がわかっている → σ / √n
- 現実：母分散は不明 → 標本標準偏差 s を使って：標準誤差 ≒ s / √n
つまり、サンプルで得た分散は「母分散の推定値」として使われるんです。
3. 言葉の整理（ごっちゃにならないために）
| 用語 | 意味 | イメージ |
|---|---|---|
| 標本（sample） | サンプルデータ | 一度の調査で集めたデータ |
| 標準（standard） | 基準・ものさし | 広がりのものさし |
| 標本誤差 | サンプル平均と母平均の「差」 | 一度のサンプルで出るズレ |
| 標準誤差 | サンプル平均の「ばらつきの大きさ」 | サンプルを繰り返したときの広がり |
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